Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab3:теория_64 [2019/04/21 11:57] – создано root_s
+++ lab3:теория_64 [2026/09/04 06:04] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ===== Магнитное поле Земли =====
-Магнитное поле Земли лучше всего описывается полем геоцентрического диполя с наклоном оси по отношению к оси вращения Земли в 11°. Как указано в статье [21] центр диполя смещён в Восточное полушарие от центра Земли на 430 км. По другим данным [22], магнитный дипольный момент Земли составляет 7,98х10:25 (????) ед. СГСМ, а его центр находится на расстоянии 462 км от центра Земли в точке с угловыми координатами 18,3° северной широты, 147,8° восточной долготы.
+Магнитное поле Земли лучше всего описывается полем геоцентрического диполя с наклоном оси по отношению к оси вращения Земли в $11^{\circ}.$ Как указано в статье [21] центр диполя смещён в Восточное полушарие от центра Земли на 430 км. По другим данным [22], магнитный дипольный момент Земли составляет **??** ед. СГСМ, а его центр находится на расстоянии 462 км от центра Земли в точке с угловыми координатами $18,3^{\circ}$ северной широты, $147,8^{\circ}$ восточной долготы.
-Силовые линии магнитного поля “входят” в планету вблизи Северного географического полюса и “выходят” вблизи Южного.  Там, где силовые линии “входят” в земной шар, располагается Южный магнитный полюс. Следовательно, истинный Южный магнитный полюс находится вблизи Северного географического полюса, но так уж исторически сложилось, что Южный магнитный полюс для удобства договорились считать Северным.
-Магнитное поле Земли является векторным и характеризуется положением вектора в пространстве и его напряженностью. Суммарный вектор T B≡ , разлагается на горизонтальную H и вертикальную Z составляющие. Угол I между горизонтальной составляющей H и полным вектором T называется магнитным наклонением, а угол D – между направлениями на магнитный и географический полюсы – магнитным склонением. Существуют карты линий равных величин магнитных склонений (изогон), линий равных магнитных наклонений (изоклин) и линий равных значений полной напряженности магнитного поля (изодинам). На Северном магнитном полюсе наклонение равно +90°, на Южном соответственно −90°. В пределах магнитного экватора, не совпадающего с географическим, наклонение равно нулю.
+Силовые линии магнитного поля "входят" в планету вблизи Северного географического полюса и "выходят" вблизи Южного.  Там, где силовые линии "входят" в земной шар, располагается Южный магнитный полюс. Следовательно, истинный Южный магнитный полюс находится вблизи Северного географического полюса, но так уж исторически сложилось, что Южный магнитный полюс для удобства договорились считать Северным.
-Магнитные полюсы Земли, по одним данным, имеют координаты 77° с. ш., 102° з. д. и 65,5° южной широты, 139,5° восточной долготы по состоянию на 1980-1985 годы. По другим данным [9], северный магнитный полюс (наклонение 90 град.) находится в точке с координатами: 76° северной широты, 101° западной долготы.
+Магнитное поле Земли является векторным и характеризуется положением вектора в пространстве и его напряженностью. Суммарный вектор $\vec T\equiv \vec B,$ разлагается на горизонтальную $H$ и вертикальную $Z$ составляющие. Угол между горизонтальной составляющей $H$ и полным вектором $\vec T$ называется магнитным наклонением, а угол между направлениями на магнитный и географический полюсы --- магнитным склонением. Существуют карты линий равных величин магнитных склонений (изогон), линий равных магнитных наклонений (изоклин) и линий равных значений полной напряженности магнитного поля (изодинам). На Северном магнитном полюсе наклонение равно $+90^{\circ},$ на Южном соответственно $-90^{\circ}.$ В пределах магнитного экватора, не совпадающего с географическим, наклонение равно нулю.
-Рис. 7. Элементы магнитного поля Земли: I – соотношение магнитного диполя, силовых линий и оси вращения Земли; II – основные компоненты магнитного поля: B – поверхность Земли на ограниченном участке; A – вертикальная плоскость; C – магнитная силовая линия; составляющие полного вектора T магнитного поля: H – горизонтальная, Z – вертикальная; I – магнитное наклонение; D – магнитное склонение; МП – направление на магнитный полюс; ГП
+Магнитные полюсы Земли, по одним данным, имеют координаты $77^{\circ}$ с.ш., $102^{\circ}$ з.д. и $65,5^{\circ}$ южной широты, $139,5^{\circ}$ восточной долготы по состоянию на 1980--1985 годы. По другим данным [9], северный магнитный полюс (наклонение $90^{\circ}$) находится в точке с координатами: $76^{\circ}$ северной широты, $101^{\circ}$ западной долготы.
-– направление на географический полюс [21]
-Величина поля на геомагнитных полюсах достигает 0,63 Гс, а на геомагнитном экваторе 0,31 Гс. По другим данным, магнитное поле Земли до расстояний порядка трёх радиусов Земли R соответствует приблизительно полю однородно намагниченного шара величиной
+Величина поля на геомагнитных полюсах достигает $0,63$ Гс, а на геомагнитном экваторе $0,31$ Гс. По другим данным, магнитное поле Земли до расстояний порядка трёх радиусов Земли R соответствует приблизительно полю однородно намагниченного шара величиной
-,70 Гс у магнитных полюсов Земли и 0,42 Гс на магнитном экваторе.
+$0,70$ Гс у магнитных полюсов Земли и $0,42$ Гс на магнитном экваторе.
-Рассмотрим простейшую модель, изображённую на рис. 7, где магнитный диполь расположен в центре Земли, направлен вдоль оси вращения z и имеет величину m0 . Тогда поле на поверхности Земли описывается формулой
-	m	3(mR R)
+Рассмотрим простейшую модель, изображённую на рис. 7,
-Рис. 8. Простейшая модель магнитного поля Земли
+{{ :lab3:007.png?direct&400 |}}
-Из этой формулы и рис. 8 следует, что
+где магнитный диполь расположен в центре Земли, направлен вдоль оси вращения $z$ и имеет величину $m_0.$ Тогда поле на поверхности Земли описывается формулой
-θ mR0 sin ,   θ Br = 2m30 cosθ.                       (70)
+$$
-    B =	3	R
+\vec B(r, \theta, \varphi ) =-\frac{\vec m}{r^3}+\frac{3(\vec m\cdot \vec r)\vec r}{r^5}. \ \ \ \ \ (69)
-Если принять, что на северном полюсе B = Br =−0,63 Гс (минус означает, что магнитное наклонение здесь положительно, т.е. поле направлено к центру Земли), а на экваторе B = Bθ = −0,31 Гс, то получим, что
+$$
-    C = m0 / R3 = −0,31 Гс.  	 	       (71)
+Из этой формулы и рис. 8
-Горизонтальная составляющая поля на Земле на её поверхности равно Bθ = −0,31cosθ Гс, а вертикальная составляющая – Hr = −0,63sinθ Гс. Магнитное наклонение вычисляет по формуле
+{{ :lab3:008.png?direct&400 |}}
-	 	ϑ= arctg(2ctg )θ . 	(72)
+следует, что
+$$
+B_{\theta }=\frac{m_0}{r^3}\sin \theta , \ \
+B_r=\frac{2m_0}{r^3}\cos \theta .
+\ \ \ \ \ (70)
+$$
+Если принять, что на северном полюсе $B = B_r = -0,63$ Гс (минус означает, что магнитное наклонение здесь положительно, т.е. поле направлено к центру Земли), а на экваторе $B = B_{\theta } = -0,31$ Гс, то получим, что
+$$
+C = \frac{m_0}{r^3} = −0,31 \mbox{ Гс}.
+\ \ \ \ \ (71)
+$$
+Горизонтальная составляющая поля на Земле на её поверхности равно
+$B_{\theta } = -0,31\cos\theta $ Гс, а вертикальная составляющая ---
+$H_r = -0,63\sin\theta $ Гс. Магнитное наклонение вычисляет по формуле
+$$
+\vartheta = \mbox{arctg}(2 \mbox{ctg} \theta ).
+\ \ \ \ \ (72)
+$$
 Таким образом, если мы хотим промоделировать сигналы магнитных датчиков, регистрирующих искажение магнитного поля Земли исследуемым объектом, то мы должны создавать в экспериментальной установке поле с произвольным направлением.
-.3. Оценка величины искажения однородного воля магнитной аномалией
+===== Оценка величины искажения однородного воля магнитной аномалией =====
-Если магнитный объект (далее называемый “аномалией”) с характерным размером a и магнитной проницаемостью µ покоится в поле Земли, то он “втягивает” в себя магнитное поле. Его магнитный момент m пропорционален магнитному полю Земли B0 . Если форма аномалии близка к шарообразной, то магнитный момент коллинеарен магнитному полю Земли, и его величина равна
-m =µ−1 a B3 0                      (73) µ+ 2
+Если магнитный объект (далее называемый "аномалией") с характерным размером a и магнитной проницаемостью µ покоится в поле Земли, то он "втягивает" в себя магнитное поле. Его магнитный момент $\vec m$ пропорционален магнитному полю Земли $\vec B_0.$ Если форма аномалии близка к шарообразной, то магнитный момент коллинеарен магнитному полю Земли, и его величина равна
-Отсюда следует, что точное значение магнитной проницаемости не существенно, поскольку для ферромагнитных материалов µ 1, а в пределе µ→∞ величина индуцированного магнитного момента практически не зависит от значения µ. Оценку g ∼ a3 можно использовать для объектов почти любой формы. Для пустотелого объекта оценка
+$$
-    g ∼ a3  	(74)
+m=\frac{\mu-1}{\mu+2}a^3B_0 .
-остаётся в силе, если толщина h магнитных стенок не слишком мала, а именно если
+\ \ \ \ \ (73)
-    h a /µ.  	(75)
+$$
-Для большого объекта отношение h a/ скорее всего значительно меньше 0,01, тогда как магнитная проницаемость материала вряд ли меньше 100. Соответственно, можно считать, что условие (73) выполнено, причём с некоторым запасом. Следовательно, такой объект при магнитном детектировании можно считать сплошным.
+Отсюда следует, что точное значение магнитной проницаемости не существенно, поскольку для ферромагнитных материалов $mu \gg 1,$ а в пределе $\mu \to \infty $ величина индуцированного магнитного момента практически не зависит от значения $\mu .$ Оценку $g \sim a^3$ можно использовать для объектов почти любой формы. Для пустотелого объекта оценка
-	На расстоянии r	a от объекта возмущение магнитного поля
+$$
+g\sim a^3 \ \ \ \ \ (74)
+$$
+остаётся в силе, если толщина $h$ магнитных стенок не слишком мала, а именно если
+$$
+h\gg \frac{a}{\mu}. \ \ \ \ \ (75)
+$$
+Для большого объекта отношение $\frac ha$ скорее всего значительно меньше $0,01,$ тогда как магнитная проницаемость материала вряд ли меньше $100.$ Соответственно, можно считать, что условие (73) выполнено, причём с некоторым запасом. Следовательно, такой объект при магнитном детектировании можно считать сплошным.
+На расстоянии $r\gg a$ от объекта возмущение магнитного поля
 Земли приближенно является дипольным и по порядку величины равно
-	 	δBP B0, 	(76)
+$$
-т.е. значительно меньше магнитного поля Земли. На малых расстояниях от аномалии, r ≈ a, возмущение магнитного поля по порядку величины близко к величине самого поля.
+\delta B\sim \frac{\mu-1}{\mu+2}\frac{a^3}{r^3} B_0 .
+\ \ \ \ \ (76)
+$$
+т.е. значительно меньше магнитного поля Земли. На малых расстояниях от аномалии, $r\approx a,$ возмущение магнитного поля по порядку величины близко к величине самого поля.
+===== Экспериментальная установка =====
+Принципиальная схема экспериментальной установки показана на рис. 9. {{ :lab3:009.png?direct&400 |}} Магнитное поле создается двумя парами катушек Гельмгольца (рис. 10). {{ :lab3:010.png?direct&400 |}} Известно, что система из двух катушек, расположенных на расстоянии, равном их радиусу $R,$ создает однородное магнитное поле в значительном объеме пространства между ними. График, демонстрирующий распределение величины поля в пространстве между катушками, приведен на рис. 11. {{ :lab3:011.png?direct&400 |}} Величина поля в центре пары катушек легко вычисляется из закона Био--Савара. Она равна (системе СИ)
+$$
+B_c=\frac{32\pi IN}{5\sqrt{5} h}\cdot 10^{-7}. \ \ \ \ \ (77)
+$$
+Здесь $N$ --- число витков в одной катушке, $2h = R$ --- расстояние между катушками в см, $I$ --- ток в амперах.
+Ось малых (неподвижных) катушек Гельмгольца расположена вдоль поверхности Земли. Средний диаметр катушек --- 270 мм, расстояние между ними --- 150 мм. Вторая пара катушек расположена перпендикулярно к первой паре и имеет средний диаметр 560 мм при расстоянии между катушками --- 300 мм. Она способна поворачиваться вокруг оси, совпадающей с осью малых катушек, на $\pm 180^{\circ}.$ Описанная комбинация катушек позволяет (если учесть возможность смены направления тока в любой из пар на противоположную) создавать магнитное поле, вектор которого направлен в любую сторону в полярной системе координат.
+Система питания катушек, каждая из которых имеет около 1000 витков, позволяет получать поле в каждой паре катушек более 100 Гс. В работе рекомендуется работать при поле 10 --- 20 Гс, при котором не происходит перегрева катушек. Геометрия катушек Гельмгольца, расстояние между которыми в каждой паре по экспериментальным соображениям было выбрано несколько большим, чем стандартное, что позволяет получать в объеме более 1000 см$^3$ магнитное поле, однородное с точностью не менее 10%.
+Относительное движение магнитного датчика и объекта осуществляется путем сбрасывания объекта, моделирующего "магнитную аномалию", с высоты 1,5 --- 2 метра. В качестве объекта, мы использовали набор ферритовых колец. Для уверенности в том, что объект движется по заданной траектории, в центре диэлектрических крышек на торцах ферритового цилиндра просверлены отверстия. Объект надет на натянутую тяжелым грузом диэлектрическую струну и падает вдоль этой направляющей. При пролете через область магнитного поля скорость движения объекта составляет примерно $5 \frac мс.$
+Изменение направления магнитного поля позволяет моделировать почти все магнитные широты Земли, за исключением углов, когда обмотки больших катушек Гельмгольца перекрывают траекторию падения модели объекта. Для измерения величины и направления магнитного поля в рабочей зоне можно использовать датчик Холла, прокалиброванный в абсолютных значениях.
+Две измерительные катушки, оси которых расположены взаимно перпендикулярно, могут перемещаться вблизи оси малой пары катушек Гельмгольца в направлении, перпендикулярном к направлению падения объекта. Катушки имеют около 1000 витков при длине 10 мм, и внешнем и внутреннем диаметрах порядка 15 и 11 мм, соответственно. Третья катушка, расположенная достаточно близко к к падающему объекту, служит для обеспечения надежного запуска осциллографа Tektronix.
+Почему в качестве объекта используется ферритовый цилиндр, а не просто железо? Ответ простой: железо --- проводник, и при его падении через область магнитного поля токи Фуко не дадут проникнуть магнитному полю внутрь, а следовательно вместо втягивания силовых линий внутрь, они будут выталкиваться. В наших экспериментах для того, чтобы искажение магнитного поля пролетающим объектом имело тот же вид, что и неподвижным, необходимо вместо обычного проводящего ферромагнетика использовать модель, представляющую собой магнитодиэлектрик. В противном случае оценки показывают, что даже при малых скоростях в модельных экспериментах время проникновения магнитного поля в ферромагнетик больше или сравнимо с временем пролета модели объекта.
+Действительно, толщина скин-слоя в железе ($\mu =1000$) при частотах 50 --- 200 Гц не превышает 1 мм, то есть движущаяся модель из железа будет вытеснять магнитное поле, а не "втягивать" его, как это должно быть в статике.
+По этой причине в качестве модели объекта в описываемых ниже экспериментах использовались цилиндры, набранные из ферритовых колец. Согласно (75) полый ферромагнетик не отличается от сплошного, если $\frac{a}{\mu h}\ll 1.$ Для модели при $\mu =100, a = 4$ см и $h =8$ см получим \frac{a}{µh}=\frac{1}{ 200}.$ Хотя наш модельный объект не
+имеет полностью замкнутой оболочки, тем не менее, можно ожидать, что искажение магнитного поля ферритовым цилиндром будет неплохо моделировать реальные объекты, имеющие, как правило, замкнутые оболочки или являющиеся сплошными.
+Дополнительным преимуществом того, что измерительная катушка расположена в постоянном поле, является то, что она реагирует только на изменение этого магнитного поля объектом вблизи нее самой. Неоднородность поля в рабочей области никак не влияет на результат. Если бы катушка двигалась, то при пересечении ею неоднородного магнитного поля появлялся бы дополнительный паразитный сигнал, искажающий результаты измерения. Характерная форма сигналов двух взаимно перпендикулярных магнитных катушек приведена на рис. 12. {{ :lab3:012.png?direct&400 |}}
+===== Принципы подобия =====
+Оценим теперь, насколько сигналы индукционного датчика будет отличаться от сигналов, которые наблюдались бы с помощью таких же катушек в реальных измерениях. Имеются два параметра сигнала, которые нас интересуют --- длительность импульса и его амплитуда. Очевидно, что типичной ситуацией, когда при измерениях появляется сигнал еще измеримой величины, является пролет датчика на расстоянии порядка характерного размера магнитной аномалии.
+Если характерный размер аномалии равен $a,$ а скорость относительного движения $v,$ то характерное время пролета датчика  мимо объекта равно $t= \frac av.$ Это и есть длительность импульса. Обозначим индексом "exp" величины в лабораторном эксперименте.
+Радиус ферритового кольца равен примерно $a_{exp} = 5$ см, а $v_{exp} = 5$ м/с. Длительность импульса при этом равна $t_{exp} =10$ мс. Приняв размер объекта, равным 170 м, а скорость движения, например, самолета--носителя, 300 км/ч, получим $t = 2$ с. Э.д.с., возникающая на катушках магнитного датчика вследствие искажения магнитного поля Земли объектом, пропорциональна сечению катушек, числу витков в катушке, скорости изменения магнитного поля, которая пропорциональна произведению обратного времени пролета на величину этого поля, и кубу отношения размера объекта к «прицельному расстоянию» $\rho ,$ определяемому как характерное расстояние от центра объекта до траектории пролета.
+Приняв для простоты, что одна и та же измерительная катушка в обоих случаях пролетает вблизи аномалии, $r\approx a,$ видим, что амплитуда индукционного сигнала будет прямо пропорциональна величине магнитного поля и обратно пропорциональна времени пролета. Отсюда при поле в установке 10 Гс получаем оценку
+$$
+\frac{\varepsilon _{exp}}{\varepsilon } = \frac{B_{exp}}{B}\cdot
+\frac{\frac av}{\frac{a_{exp}}{v_{exp}}} \sim 4000 .
+$$
+Видно, что сигнал в случае использования индукционной катушки в реальных условиях весьма мал, поэтому при таких измерениях используют датчики других типов, которые измеряют не производную поля, а величину самого поля (см. лаб. работу 3.1 в Выпуске 1).
+===== Преобразование координат =====
+Чтобы смоделировать форму сигналов, которые будут наблюдаться при движении измерительного устройства в поле Земли, необходимо на установке создать магнитное поле, вектор которого направлен требуемым образом по отношению к направлению падения модели аномалии. Для этого нужно выбрать магнитный меридиан и вычислить величины компонент магнитного поля, используя выражение (70).
+Теперь сопоставим (рис. 13) {{ :lab3:013.png?direct&400 |}} координаты на местности с координатами лаборатории. Координата $r$ соответствует вертикальной оси $z$ лаборатории. Введем угол $\alpha ,$ угол между направлением магнитного меридиана и направлением относительного движения катушки и аномалии, и угол $\beta $ --- между вертикальной осью и радиусом--вектором, направленным на измерительную катушку (самолет--носитель летит на некоторой высоте над поверхностью A).
+А теперь мы можем определить, как следует выбрать компоненты вектора $\vec B$ в экспериментальной установке, чтобы полностью смоделировать ситуацию, изображенную на рис. 13. Введем систему координат, связанную с экспериментальной установкой. Направим ось $x$ вдоль направления движения объекта, $z$ --- вдоль оси неподвижных катушек Гельмгольца, $y$ --- перпендикулярно $x$ и $z.$ Тогда компоненты поля в этих координатах выразятся следующим образом
+$$
+B_x =C\cos(\alpha )\sin(\beta )
+$$
+$$
+B_y =C(2\sin(\beta )\cos(\theta)-\sin(\alpha )cos(\beta )\sin(\theta))
+$$
+$$
+B_z =C(2\cos(\beta )\cos(\theta ) +\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\theta ))
+$$
+Поле $B_y$ создается неподвижными катушками. Вращающиеся катушки создают поле $B_1 = \sqrt{B_x^2 + B_z^2},$ направленное под углом $\varphi = \mbox{arctg}(\frac{B_x}{B_z}) к вертикали. В натурных измерениях величина $C$ равна значению, указанному в (71). На установке величина поля значительно выше, и для обеспечения подобия необходимо только выдержать правильное отношение между компонентами.