Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
Следующая версия		Предыдущая версия
lab4:движение_носителей [2019/04/04 18:34] – root_slab4:движение_носителей [2026/09/04 06:04] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 40: Строка 40:
 Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом  $\rho _{L} =\frac{v_{\bot }}{\omega _{c} }$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами.  Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом  $\rho _{L} =\frac{v_{\bot }}{\omega _{c} }$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами. 
  
-Рассмотрим поведение частицы //с учётом столкновений// частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта --- $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac{\langle l\rangle}{\langle | v | \rangle }$. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если //добавка// к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ // много меньше // её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется //слабым//. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d}.$+Рассмотрим поведение частицы //с учётом столкновений// частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта --- $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac{\langle l\rangle}{\langle | v | \rangle }$. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если //добавка// к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ //много меньше// её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется //слабым//. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d}.$
  
 В //приближении слабого поля// дрейфовая скорость $v_{d} $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E} $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\vec v}_{d}=u\cdot \vec E$, где коэффициент  пропорциональности $u$ называется **подвижностью** носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac{м^2}{В\cdot с}$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac{см^2}{В\cdot с}$.  В //приближении слабого поля// дрейфовая скорость $v_{d} $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E} $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\vec v}_{d}=u\cdot \vec E$, где коэффициент  пропорциональности $u$ называется **подвижностью** носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac{м^2}{В\cdot с}$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac{см^2}{В\cdot с}$. 
Строка 105: Строка 105:
  
 Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях:  Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях: 
- +$$ 
-$m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B]$ --- для электронов,  +m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B] \mbox{ - для электронов, } \ \ 
- +m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B] \mbox{ - для дырок.} 
-$m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B]$ --- для дырок. +$$
 Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим:  Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим: 
 $$ $$
Строка 136: Строка 135:
 R_{H} =\frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2}}{e(nu_{n} +pu_{p})^2}.  R_{H} =\frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2}}{e(nu_{n} +pu_{p})^2}. 
 $$ $$
-Из этого выражения видно, что при $n \gg p$:  $R_H = (en)^{-1}$, а при $p\gg n$: $R_H = (ep)^{-1}$. В случае собственного полупроводника, где $n = p = n_i$,+Из этого выражения видно, что при $n \gg p$:  $R_H = -(en)^{-1}$, а при $p\gg n$: $R_H = (ep)^{-1}$. В случае собственного полупроводника, где $n = p = n_i$,
 $$ $$
 R_{H}=\frac{u_{p} -u_{n}}{en_{i}(u_{n} +u_{p} )}=\frac{1-b}{en_{i}(1+b)},  R_{H}=\frac{u_{p} -u_{n}}{en_{i}(u_{n} +u_{p} )}=\frac{1-b}{en_{i}(1+b)}, 
Строка 148: Строка 147:
 в выражении для постоянной Холла: в выражении для постоянной Холла:
  
-$ +$$ 
-R_{H} =-r(en)^{-1}$ --- для электронов,   $R_{H} =-r(ep)^{-1}$ --- для дырок, +R_{H} =-r(en)^{-1} \mbox{ - для электронов, }   R_{H} =-r(ep)^{-1} \mbox{ - для дырок,} 
- +$$ 
-$R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{{nu_{n} +pu_{p} }^{2}}$ --- для биполярной проводимости.+$$ 
 +R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{(nu_{n} +pu_{p})^{2}} \mbox{ - для биполярной проводимости.} 
 +$$
  
 Здесь $\langle \tau \rangle$ --- среднее время релаксации, $\langle \tau ^{2} \rangle$ --- средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители $(en)^{-1}$ или  $(ep)^{-1}$, верны с точностью до множителя $r$; в частности, для подвижности: Здесь $\langle \tau \rangle$ --- среднее время релаксации, $\langle \tau ^{2} \rangle$ --- средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители $(en)^{-1}$ или  $(ep)^{-1}$, верны с точностью до множителя $r$; в частности, для подвижности:
-\[{\rm \; }u_{n}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{n} {\rm ,}{\rm \; }\]  +$$ 
-\begin{equation} \label{GrindEQ__47_}  +u_{n}^{H} =\frac{r\sigma}{en}=ru_{n}; \ \ \ \  
-{\rm \; }u_{p}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{p} .  +u_{p}^{H} = \frac{r\sigma}{ep}=ru_{p} .  
-\end{equation} +$$
 Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла. Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла.
  
-Поскольку \textit{r} определяется временем релаксации \textit{$\tau$}, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки \textit{r }= 3$\pi$/8=1,18, а при рассеянии на примесных ионах \textit{r }= 1,93. При низких температурах (для Ge T $\mathrm{<}$ 250 K, для Si T~$\mathrm{<}$~100~K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si -- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.+Поскольку $r$ определяется временем релаксации $\tau$, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки $r= \frac 38 \pi \approx 1,18,$ а при рассеянии на примесных ионах $r = 1,93.$ При низких температурах (для Ge $T < 250$ K, для Si $T < 100$ K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si --- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.
  
-Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку \textit{$\tau$ = $<$$\lambda$$>$/$<$v$>$}, то соотношение между длиной свободного пробега $\mathrm{<}$\textit{$\lambda$}$\mathrm{>}$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:+Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку $\tau = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v\rangle}$, то соотношение между длиной свободного пробега $\langle \lambda \rangle$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:
  
-$\tau <<T=2\pi /\omega _{c} $ -- для слабого поля, +$$ 
- +\tau \ll T=\frac{2\pi}{\omega _{c}} \mbox{ - для слабого поля,} 
-$\tau >>T=2\pi /\omega _{c} $ -- для сильного поля,    \eqref{GrindEQ__48_} +$$ 
- +$$ 
-\noindent где \textit{T }-- период вращения частицы,  \textit{$\omega$${}_{c}$} -- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией \textbf{В}). Поскольку $\omega \; \, =\, \; \frac{q\cdot B}{m^{*} } $, подставив \textit{$\omega$${}_{c}$} в \eqref{GrindEQ__48_}, получим: +\tau \gg T=\frac{2\pi}{\omega _{c}}$ \mbox{ - для сильного поля,} 
- +$$  
-\noindent $\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi <<1$-- для слабого поля, +где $T$ --- период вращения частицы,  $\omega _{c}$ --- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией $\vec В$). Поскольку $\omega = \frac{q\cdot B}{m^{*}}$, то подставив $\omega _{c}$ в выражение выше, получим: 
- +$$ 
-$\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi >>1$-- для сильного поля.   \eqref{GrindEQ__49_}+\frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} = \frac{uB}{2\pi} \ll 1 \mbox{ - для слабого поля, }$$ 
 +$$ 
 +\frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} =\frac{uB}{2\pi} \gg 1 \mbox{ - для сильного поля. }$$  
  
 Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле. Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле.
  
 +Назад к [[:lab4:подвижность|Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда  в полупроводниках]], далее  [[:lab4:приложение_41|Приложение 1. Эффект Холла в сильном магнитном поле (для дополнительного чтения)]]