Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
Следующая версия		Предыдущая версия
lab5:описание_процессов [2019/04/11 15:15] – [Векторные диаграммы] root_slab5:описание_процессов [2026/09/04 06:04] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 58: Строка 58:
  
 Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю: Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю:
-\begin{equation} \label{GrindEQ__3_}  +$$ 
-\sum _{k=0}^{N}I_{k}  =0.   +\sum _{k=0}^{N}I_{k}  =0. 
-\end{equation} +$$
  
 Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим -- знак минус.  Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим -- знак минус. 
  
 Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре:  Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: 
-\begin{equation} \label{GrindEQ__4_}  +$$ 
-\sum _{k=0}^{N}U_{k}  =\sum _{k=0}^{P}{\rm E} _{k}  .   +\sum _{k=0}^{N}U_{k}  =\sum _{k=0}^{P}E_k  . 
-\end{equation} +$$
  
-Произвольно заданные направления токов $I_{k} $ приводят к положительному вкладу $U_{k} $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы ${\rm E} _{k} $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении. +Произвольно заданные направления токов $I_{k} $ приводят к положительному вкладу $U_{k} $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы $E_{k} $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении. 
  
  
  
-==== Мощность, выделяемая в схемах с \textit{R},\textit{ L},\textit{ C} в цепях переменного тока ====+==== Мощность, выделяемая в схемах с $R, L, C$ в цепях переменного тока ====
  
 Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени
 \[p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \]  \[p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] 
 Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как
-\begin{equation} \label{GrindEQ__5_}  +$$ 
-\begin{array}{l} {p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)=} \\ {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} \end{array} .  +p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)=  
-\end{equation} +$$ 
 +$$ 
 + {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} .  
 +$$
 Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь -- когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током.  Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь -- когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током. 
  
 Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна
 \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \]  \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] 
-Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2} $: $U={U_{0}  \mathord{\left/{\vphantom{U_{0}  \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $, $I={I_{0}  \mathord{\left/{\vphantom{I_{0}  \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $. При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной +Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2}$:  
 +$$ 
 +U=\frac{U_0}{\sqrt{2} }, \ \ \ I=\frac{I_0}{\sqrt{2} }. 
 +$$ 
 +При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной 
 \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\]  \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] 
 и полной мощности и полной мощности
Строка 95: Строка 102:
 Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$.  Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$. 
  
-На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору \textit{I} на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую  $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ -- реактивной.  +На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую  $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ --- реактивной. 
- +
-\includegraphics*[width=2.38in, height=1.12in, keepaspectratio=false]{image23}+
  
 +{{ :lab5:005.png?400 |}}
 ==== Треугольник мощностей ==== ==== Треугольник мощностей ====
  
-Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5, \textit{б}, называют \textit{треугольником} \textit{мощностей}. Если угол $\psi $на рис. 5, \textit{б} положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной. +Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют //треугольником мощностей.// Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной. 
  
  
Строка 108: Строка 114:
  
 Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме. Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.
- 
-\noindent \includegraphics*[width=2.11in, height=1.51in, keepaspectratio=false]{image24} 
- 
-\noindent \textit{Рис. 6.} Схема, иллюстрирующая анализ переходных процессов 
- 
-\includegraphics*[width=2.23in, height=1.68in, keepaspectratio=false]{image25} 
- 
-\noindent \textit{Рис. 7.} Временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ в схеме, изображенной на рис. 6 
  
 Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами: Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:
- +  - незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость --- разрыв;  
-1) незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость $-$ разрыв;  +  - индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален. 
- +
-2) индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т. е. ток через нее будет минимален. +
  
 Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом. Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.
 +{{ :lab5:006.png?450 |}}
  
-В начальный момент времени (t = 0) индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи \textit{ab}, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении \textit{R} = 1 $\Omega$ равно нулю. Затем за время порядка $\tau$ $\approx$ \textit{L/R} = 50 $\mu$с ток достигает значения 0,5 А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь \textit{cd} с сопротивлением 100 $\Omega$. Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях \textit{be} и \textit{cd}. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.+В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи **ab**, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь **cd** с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях **be** и **cd**. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7).  
 +{{ :lab5:007.png?500 |}} 
 +Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.
  
 Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8.  Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. 
- +{{ :lab5:008.png?500 |}} 
-\includegraphics*[width=2.28in, height=1.13in, keepaspectratio=false]{image26} +Из первого закона Кирхгофа для узла **У1** получаем: 
- +$$
-\noindent \textit{Рис. 8.} Схема, иллюстрирующая использование законов Кирхгофа +
- +
-\noindent Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: +
-\begin{equation} \label{GrindEQ__6_} +
 I_{1} -I_{2} -I_{3} =0.   I_{1} -I_{2} -I_{3} =0.  
-\end{equation}  +$$ 
-Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: +Из второго закона Кирхгофа для контуров **К1** и **К2** получаем еще два уравнения: 
-\begin{equation} \label{GrindEQ__7_} +$$
 I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right),   I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right),  
-\end{equation}  +$$ 
-\begin{equation} \label{GrindEQ__8_} +$$
 I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right).   I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right).  
-\end{equation}  +$$ 
-Дифференцируя уравнение \eqref{GrindEQ__8_} по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $из уравнений \eqref{GrindEQ__6_} и \eqref{GrindEQ__7_}, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$:+Дифференцируя последнее уравнение по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $ из двух предыдущих уравнений, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: 
 +$$ 
 +\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right) \ \ \  \mbox{ (СИ). } 
 +$$ 
 +Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) его решение может быть записано в аналитической форме.
  
- $\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right)$  (СИ). \eqref{GrindEQ__9_} +Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений --- решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.
- +
-Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) решение уравнения \eqref{GrindEQ__9_} может быть записано в аналитической форме. +
- +
-Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений $-$ решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.+
  
 Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).  Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б). 
- +{{ :lab5:009.png?400 |}}
-\noindent \includegraphics*[width=3.36in, height=1.55in, keepaspectratio=false]{image27} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 9.} Примеры переходных процессов +
- +
-\noindent  +
- +