Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
Следующая версия		Предыдущая версия
lab5:теория_54 [2019/04/14 10:13] – [Введение] root_slab5:теория_54 [2019/04/14 14:17] (текущий) – [Введение] root_s
Строка 4: Строка 4:
  
 Спектральный анализ --- это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать сигнал как сумму гармонических составляющих. В 1807 г. французский ученый **Жан Батист Жозеф Фурье** высказал предположение, что любую произвольную периодическую функцию $x\left(t\right)$ с периодом $T$ можно выразить в виде суммы Спектральный анализ --- это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать сигнал как сумму гармонических составляющих. В 1807 г. французский ученый **Жан Батист Жозеф Фурье** высказал предположение, что любую произвольную периодическую функцию $x\left(t\right)$ с периодом $T$ можно выразить в виде суммы
-\begin{equation} \label{GrindEQ__1_} +\begin{equation} 
 x\left(t\right)=a_{0} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right) +b_{n} \sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right),   x\left(t\right)=a_{0} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right) +b_{n} \sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right),  
-\end{equation} +\end{equation}
 где значение коэффициентов определяется формулами где значение коэффициентов определяется формулами
-\[a_{0} =\frac{1}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)dt , a_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt , b_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .\] +\[ 
 +a_{0} =\frac{1}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)dt , a_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt , b_{n} =\frac{2}{T} \int _{0}^{T}x\left(t\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .\] 
 Форма ряда, представленная в первом выражении, называется тригонометрической. Более часто используемая экспоненциальная форма получается путем выражения тригонометрических функций через комплексную экспоненту Форма ряда, представленная в первом выражении, называется тригонометрической. Более часто используемая экспоненциальная форма получается путем выражения тригонометрических функций через комплексную экспоненту
-\[x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n} \exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right) , c_{n} =\frac{1}{T} \int _{-{T \mathord{\left/{\vphantom{T 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }^{{T \mathord{\left/{\vphantom{T 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }x\left(t\right)\exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right)dt .\]  +\[ 
-Сумма в этом представлении охватывает не только положительные, но и отрицательные значения \textit{n}. Гармоники $c_{n} $ в общем случае являются комплексными числами, поэтому для их представления, как правило, используется два графика --- один для модуля, а другой для аргумента комплексной функции. +x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n} \exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right) , c_{n} =\frac{1}{T} \int _{-\frac 12 T}^{\frac 12 T}x\left(t\right)\exp \left(i\frac{2\pi nt}{T} \right)dt . 
 +\]  
 +Сумма в этом представлении охватывает не только положительные, но и отрицательные значения $n.$ Гармоники $c_{n} $ в общем случае являются комплексными числами, поэтому для их представления, как правило, используется два графика --- один для модуля, а другой для аргумента комплексной функции. 
  
 Множество всех коэффициентов ряда Фурье $c_{n} $ называется спектром функции $x\left(t\right)$. В частности, $c_{0} $ является средним значением функции $x\left(t\right)$, а величина $c_{1} $ называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция $x\left(t\right)$ является вещественной, тогда выполняется следующее тождество  Множество всех коэффициентов ряда Фурье $c_{n} $ называется спектром функции $x\left(t\right)$. В частности, $c_{0} $ является средним значением функции $x\left(t\right)$, а величина $c_{1} $ называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция $x\left(t\right)$ является вещественной, тогда выполняется следующее тождество 
-\[c_{n}^{*} =c_{-n} ,\]  +$$c_{n}^{*} =c_{-n} ,$$ 
-где * $-$ операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса \textit{n}, а аргумент -- нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции $x\left(t\right)$ достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам. +где * $-$ операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса $n,$ а аргумент --- нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции $x\left(t\right)$ достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам.
- +
-\noindent  +
 ===== Спектр прямоугольного импульса ===== ===== Спектр прямоугольного импульса =====
  
-Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая изображена на рис. 1. Ряд Фурье для этой функции +Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая изображена на рис. 1.  
 +{{ :lab5:l401.png?direct&350 |}} 
 +Ряд Фурье для этой функции 
 \begin{equation} \label{GrindEQ__2_}  \begin{equation} \label{GrindEQ__2_} 
 x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi } \cos \left(\frac{2\pi t}{\Delta } \right)-\frac{2}{3\pi } \cos \left(\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\frac{2}{5\pi } \cos \left(\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\ldots  .   x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi } \cos \left(\frac{2\pi t}{\Delta } \right)-\frac{2}{3\pi } \cos \left(\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\frac{2}{5\pi } \cos \left(\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\ldots  .  
 \end{equation}  \end{equation} 
 На рис. 2 показано как частичные суммы этого ряда сходятся к $x\left(t\right)$.  На рис. 2 показано как частичные суммы этого ряда сходятся к $x\left(t\right)$. 
- +{{ :lab5:l502.png?direct&500 |}} 
-\noindent В комплексной форме гармоники имеют вид +В комплексной форме гармоники имеют вид 
 \[\begin{array}{l} {\quad x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{1}{\pi } \left(\exp \left(i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)\right)-} \\ {-\frac{1}{3\pi } \left(\exp \left(i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)\right)+\frac{1}{5\pi } \left(\exp \left(i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)\right)\ldots } \end{array}\]  \[\begin{array}{l} {\quad x\left(t\right)=\frac{1}{2} +\frac{1}{\pi } \left(\exp \left(i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{2\pi t}{\Delta } \right)\right)-} \\ {-\frac{1}{3\pi } \left(\exp \left(i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{6\pi t}{\Delta } \right)\right)+\frac{1}{5\pi } \left(\exp \left(i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)+\exp \left(-i\frac{10\pi t}{\Delta } \right)\right)\ldots } \end{array}\] 
-\includegraphics*[width=1.94in, height=0.73in, keepaspectratio=false]{image91} 
- 
-\noindent \textit{Рис. 1.} Периодический прямоугольный сигнал 
- 
-\noindent  
- 
 ===== Дискретное преобразование Фурье ===== ===== Дискретное преобразование Фурье =====
  
 Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени.  Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени. 
  
-Из теоремы Найквиста $-$ Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой $f_{switch} $ изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты $f_{\max } $ +Из теоремы Найквиста --- Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой $f_{switch} $ изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты $f_{\max } $ 
 \[f_{switch} =2\cdot f_{\max } .\]  \[f_{switch} =2\cdot f_{\max } .\] 
 Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4).  Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4). 
- 
-\noindent \includegraphics*[width=2.04in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image92}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image93} 
- 
-    n = 1          n = 2 
- 
-\noindent \includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image94}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image95} 
- 
-     n = 3         n = 7  
- 
-\noindent \textit{Рис. 2.} Частичные суммы ряда Фурье в случае прямоугольного сигнала 
  
 Другим важным параметром спектрального анализа является  спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом $\tau$ спектральное разрешение равно Другим важным параметром спектрального анализа является  спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом $\tau$ спектральное разрешение равно
 \[f_{\min } =\frac{1}{N\cdot \tau } .\]  \[f_{\min } =\frac{1}{N\cdot \tau } .\] 
 Эта же величина равна шагу по частоте $\Delta f=f_{\min } $ для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье. Эта же величина равна шагу по частоте $\Delta f=f_{\min } $ для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье.
- 
-\noindent  
- 
-\noindent  
- 
-\noindent  
  
 ===== Фильтрация ===== ===== Фильтрация =====
  
 Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал $x\left(t\right)$ на конечном промежутке $T$, то это означает, что он может быть представлен в виде Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал $x\left(t\right)$ на конечном промежутке $T$, то это означает, что он может быть представлен в виде
-\[x\left(t\right)=x_{1} \left(t\right)\cdot f\left(t\right), f\left(t\right)=\left(\begin{array}{c} {1,\; \left|t\right|<T} \\ {\, 0,\left|t\right|>T\; } \end{array}\right. ,\]  +\[ 
-где $x_{1} \left(t\right)$ есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции $f\left(t\right)$ называется естественным временным окном, но используются и другие формы $f\left(t\right)$. Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3 и 4. Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 5 приведены соответствующие спектры сигналов. Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 5 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна $f\left(t\right)$ позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном. +x\left(t\right)=x_{1} \left(t\right)\cdot f\left(t\right), \ \ f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; \left|t\right|<T} \\ {\, 0,\left|t\right|>T\; } \end{array}\right. , 
- +\]  
-\noindent  +где $x_{1} \left(t\right)$ есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции $f\left(t\right)$ называется естественным временным окном, но используются и другие формы $f\left(t\right)$. Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3.  
- +{{ :lab5:l403.png?direct&500 |}} 
-\noindent \includegraphics*[width=2.77in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.12in 0.12in 0.12in 0.12in]{image96} +Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 4 приведены соответствующие спектры сигналов.  
- +{{ :lab5:l404.png?direct&500 |}} 
-\noindent Исходный сигнал для спектрального анализа +Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 4 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна $f\left(t\right)$ позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном.
- +
-\noindent \includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image97}\includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image98} +
- +
-\textit{Рис. 3.} Исходный сигнал после умножения на прямоугольное и треугольное окно +
- +
-\noindent  +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=2.66in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.10in 0.10in 0.10in 0.10in]{image99} +
- +
-\textit{Рис. 4.} Спектр (модуль амплитуды) гармонического сигнала в случае использования различных окон +
- +
-\noindent  +
- +
-===== Задания ===== +
- +
-1. Установите на осциллографе развертку луча 2,5 мс. Оставляя развертку неизменной, запишите синусоидальный сигнал с осциллографа для частот 50 Гц, 250 Гц, 1,5 кГц, 5,0 кГц, 20 кГц, 50 кГц, 300 кГц, 500 кГц. Сигнал необходимо записывать в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Определите минимальную и максимальную частоты, регистрируемые данным осциллографом при выбранной развертке. +
- +
-2. Установите генератор в режим генерации прямоугольных импульсов. Запишите сигнал в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Сравните полученные данные с уравнением 2, объясните наличие в спектре всех частот. +
- +
-3. Воспользовавшись тем, что в спектре прямоугольного импульса содержатся все частоты, оцените амплитудно-частотную характеристику фильтров низких частот, высоких частот и многозвенного (см. рис. 5 и 6). Для этого установите на генераторе сигналов режим прямоугольных сигналов с частотой примерно 50 Гц. Выберите развертку осциллографа 25 мс/дел. На рис. 7 показан возможный вид экрана осциллографа в указанном режиме. Подавая прямоугольный сигнал на входы фильтров, запишите одновременные осциллограммы для выходного и входного сигналов в текстовом виде. По полученным данным рассчитайте АЧХ фильтров. При этом учитывайте, что из рассмотрения нужно исключить гармоники с малой амплитудой, так как полученные с их использованием данные содержат большую погрешность. При обработке результатов рекомендуется использовать треугольное окно. Пример обработки на программе MathCad показан на рис. 8. +
- +
-\eject \includegraphics*[width=1.06in, height=0.80in, keepaspectratio=false]{image100}                     \includegraphics*[width=1.21in, height=0.81in, keepaspectratio=false]{image101} +
- +
-                               а                                                     б  +
- +
-\textit{Рис. 5.} Фильтр низких (а) и высоких частот (б) +
- +
-\noindent  +
- +
-\noindent  +
- +
-\includegraphics*[width=3.02in, height=0.82in, keepaspectratio=false]{image102} +
- +
-\noindent  +
- +
-\textit{Рис. 6.} Многозвенный фильтр низких частот +
- +
- +
- +
- +
- +
-\includegraphics*[width=3.77in, height=2.82in, keepaspectratio=false]{image103} +
- +
-\textit{Рис. 7.} Прохождение  прямоугольного импульса через фильтр высоких частот +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.41in, height=5.83in, keepaspectratio=false]{image104} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.45in, height=3.12in, keepaspectratio=false]{image105} +
- +
-\noindent \textit{Рис .8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad, продолжение +
- +
-\noindent +
  
 ===== Библиографический список ===== ===== Библиографический список =====
  
-1. \textit{Часть I,} разделы 3 и 5 настоящего сборника. +  - Мешков И.Н., Чириков Б.В., Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1. 
- +  - Марпл С.Л., Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.
-2. \textit{Мешков И. Н., Чириков Б. В.} Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1. +
- +
-3. \textit{Марпл С. Л.} Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.+