Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab5:discrete_element [2019/04/12 11:42] – [Примеры спектров различных сигналов] root_s
+++ lab5:discrete_element [2026/09/04 06:03] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
@@ Строка 85: / Строка 85: @@
 ==== Свойства преобразования Фурье ====
-\textbf{\textit{Принцип неопределенности }}
+=== Принцип неопределенности ===
-\noindent Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24.
+Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24.
-\textbf{\textit{Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье}}
+=== Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье ===
 Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье
-\[X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{{2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} }  . \]
+$$X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi i p k}{N} }  .
+$$
 равны
-\[f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{{\rm switch}} }{2} . \]
+$$
-Здесь $T$ $-$ полное продолжительность измерения; $N$ $-$ число измерений; $\tau $ $-$ интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ $-$ максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье.
+f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{switch} }{2} .
+$$
+Здесь $T$ --- полное продолжительность измерения; $N$ --- число измерений; $\tau $ --- интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ --- максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье.
-\noindent \includegraphics*[width=3.15in, height=1.75in, keepaspectratio=false]{image64}
-\noindent Рис. 25. «Стробоскопический» эффект
+=== Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала ===
-\noindent
+Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25.
+{{ :lab5:525.png?500 |}}
+Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности.
-\textbf{\textit{Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала }}
+Сигнал с частотой $19$Гц подается на АЦП с периодом измерений $50$мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте $10$Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом $1$сек (или частотой $1$Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра.
-Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25. Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности.
+=== Расположение частот при дискретном преобразование Фурье ===
-Сигнал с частотой 19 Гц подается на АЦП с периодом измерений 50 мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте 10 Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом 1 сек (или частотой 1 Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра.
-\textbf{\textit{Расположение частот при дискретном преобразование Фурье}}\textit{ }
 Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле
-\[c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{{-2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{-2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} }  \]
+$$
-согласно разделу \eqref{GrindEQ__5_2_}, индекс \textit{p} может быть как в пределах $\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right]$, так и в пределах $\left[0,N-1\right]$. В физике принята интерпретация коэффициентов преобразования Фурье, основанная на введении области положительных и отрицательных частот, и поэтому используется индекс в виде $\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right]$. В некоторых математических пакетах используется нумерация коэффициентов в виде $\left[0,N-1\right]$. В этом случае считается, что ряд $c_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots $ описывает значение спектра на частотах $-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ .
+c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{\frac{-2\pi i p k}{N}}
+$$
+согласно разделу (5.2), индекс $p$ может быть как в пределах $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$, так и в пределах $\left[0,N-1\right]$. В физике принята интерпретация коэффициентов преобразования Фурье, основанная на введении области положительных и отрицательных частот, и поэтому используется индекс в виде $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$. В некоторых математических пакетах используется нумерация коэффициентов в виде $\left[0,N-1\right]$. В этом случае считается, что ряд $c_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots $ описывает значение спектра на частотах $-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ .
-\textbf{\textit{Теорема о энергии }}
+=== Теорема об энергии ===
 Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение
-\[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }^{{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1}\left|c\right|_{p}^{2}  , \]
+$$
+\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-\frac 12 N}^{\frac 12 N -1}\left|c\right|_{p}^{2}  ,
+$$
 которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма
-\[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt \]
+$$
+\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt
+$$
 характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде
 \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \]
-\textbf{\textit{Свойства непрерывного преобразования Фурье}}
-\begin{tabular}{|p{1.0in}|p{0.8in}|p{1.5in}|} \hline
+=== Свойства непрерывного преобразования Фурье ===
-Функия & Образ & Примечание \\ \hline
-$af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ & $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ & свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы \\ \hline
+^ Функия ^ Образ ^ Примечание ^
-$e^{i\omega \, t} f\left(t\right)$ & $F\left(\omega -a\right)$ & частотный сдвиг (см. пример 2 и 3, рис. 23) \\ \hline
+| $af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ | $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ | свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы |
-$e^{ia\, t} $ & $\delta \left(\omega -a\right)$ & гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. пример 1, рис. 23) \\ \hline
+| $e^{iat} f\left(t\right)$ | $F\left(\omega -a\right)$ | частотный сдвиг (см. {{ :lab5:524-2.png?linkonly |пример 2}} и {{ :lab5:524-3.png?linkonly |3}}, рис. 24) |
-$\delta \left(t\right)$ & 1 & максимально короткий сигнал, (предельный случай примера 5, рис. 23) \\ \hline
+| $e^{ia\, t} $ | $\delta \left(\omega -a\right)$ | гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. {{ :lab5:524-1.png?linkonly |пример 1}}, рис. 24) |
-$e^{-at^{2} } $ & $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-{\omega ^{2}  \mathord{\left/{\vphantom{\omega ^{2}  4a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 4a} } $ & функция Гаусса переходит в в функцию Гаусса (см. пример 3, рис. 23) \\ \hline
+| $\delta \left(t\right)$ | 1 | максимально короткий сигнал, (предельный случай {{ :lab5:524-5.png?linkonly |примера 5}}, рис. 24) |
-$d\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; -a<t<1} \\ {0,\; otherwise} \end{array}\right. $ & $\begin{array}{l} {2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega \, } =} \\ {=2a{\rm sinc}\left(\omega \, a\right)} \end{array}$ & преобразование Фурье от прямоугольной функции пропорционально функции  ${\rm sinc}\left(x\right)={\sin \left(x\right) \mathord{\left/{\vphantom{\sin \left(x\right) x}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} x} $, (см. пример 4 и 5, рис. 23) \\ \hline
+| $e^{-at^{2} } $ | $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-\frac{\omega ^2}{4a}} $ | функция Гаусса переходит в функцию Гаусса (см. {{ :lab5:524-3.png?linkonly |пример 3}}, рис. 24) |
-$\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ & $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ &  \\ \hline
+| $d\left(t\right)= 1,$ при $-a<t<a$ \\ и $d=0$ в остальных случаях | $2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega } = 2a\mbox{sinc}\left(\omega \, a\right)$ | преобразование Фурье от прямоугольной функции \\ пропорционально функции sinc$\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{x}$, (см. {{ :lab5:524-4.png?linkonly |пример 4}} и {{ :lab5:524-5.png?linkonly |5}}, рис. 24) |
-$f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ & $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ & преобразование Фурье от произведения двух функций есть свертка \newline $\left(F*G\right)\left(\omega \right)=\int F\left(\omega \right) G\left(\omega -\omega '\right)\, d\omega '$ \\ \hline
+| $\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ | $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ | |
-$\left(f*g\right)\left(t\right)$ & $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ &  \\ \hline
+| $f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ | $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ | преобразование Фурье от произведения двух функций \\ есть свертка $(F*G)(\omega )=\int F(\omega ') G(\omega -\omega ') \ d\omega '$ |
-\end{tabular}
+| $\left(f*g\right)\left(t\right)$ | $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ |