Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
Следующая версия		Предыдущая версия
lab6:теория61 [2021/07/13 07:20] – [Сильный скин-эффект] rootlab6:теория61 [2026/09/04 06:06] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 2: Строка 2:
  
 Из уравнений Максвелла  Из уравнений Максвелла 
-\begin{equation} \label{m01}+$$
 \mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
-\end{equation} +$$ 
-\begin{equation} \label{m1}+$$
 \mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
-\end{equation}+$$
 следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого
 магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. **ток проводимости** значительно больше **тока смещения**  магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. **ток проводимости** значительно больше **тока смещения** 
-\begin{equation}\label{ogr}+$$
 \frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3)
-\end{equation}+$$
 так что уравнение упрощается, приобретая вид так что уравнение упрощается, приобретая вид
 \[ \[
-\mbox{rot}\vec{H}\approx \frac{4\pi}{c}\vec{j}.+\mbox{rot}\vec{H}\approx \frac{4\pi}{c}\vec{j}. \ \ \ \ \ \ \ \ (4)
 \] \]
  
Строка 27: Строка 27:
  
 Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника найдём Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника найдём
-из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (2) и используя тождество: +из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (4) и используя тождество: 
 $$ $$
 \mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=\mbox{grad}(\mbox{div} \vec{H}) - \Delta \vec{H} \mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=\mbox{grad}(\mbox{div} \vec{H}) - \Delta \vec{H}
Строка 38: Строка 38:
 $$ $$
 Окончательно получаем Окончательно получаем
-\begin{equation}\label{fuko} +$$ 
-\Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (4) +\Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (5) 
-\end{equation}+$$
 Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем
 $ $
Строка 50: Строка 50:
 $$ $$
 Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя  Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя 
-\begin{equation}\label{eq12} +$$ 
-\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (5) +\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6) 
-\end{equation}+$$
 значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается. значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.
 ===== Сильный скин-эффект ===== ===== Сильный скин-эффект =====
  
-{{ :lab6:01.jpg?400 | Токи и поля при сильном скин-эффекте}}+{{ :lab6:01.jpg?300 | Рис. 1. Токи и поля при сильном скин-эффекте}}
 Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле, Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле,
 меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega .$ Здесь и далее предполагается, меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega .$ Здесь и далее предполагается,
Строка 67: Строка 67:
 H(x,t)=H_z(x)e^{-i\omega t}. H(x,t)=H_z(x)e^{-i\omega t}.
 $$ $$
-Тогда уравнение (4) примет вид:  +Тогда уравнение (5) примет вид:  
-\begin{equation}\label{eq11} +$$ 
-\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (6) +\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (7) 
-\end{equation}+$$
  
  
 Решением этого уравнения Решением этого уравнения
 будет выражение  будет выражение 
-\begin{equation}\label{eq13} +$$ 
-H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (7) +H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8) 
-\end{equation}+$$
 которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает, которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает,
 а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения
-(7) следует, что величина $\delta$ +(8) следует, что величина $\delta$ 
 определяет масштаб ослабления поля в $e$ раз и характеризует определяет масштаб ослабления поля в $e$ раз и характеризует
 собой толщину скин--слоя. собой толщину скин--слоя.
Строка 86: Строка 86:
  
  
-При выводе выражения (7) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ --- толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок). +При выводе выражения (8) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ --- толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок). 
-{{ :lab6:02-mod.jpg?400 |Токи и поля при слабом скин-эффекте}}+{{ :lab6:02-mod.jpg?400 |Рис 2. Токи и поля при слабом скин-эффекте}}
 Решение для произвольного соотношения $\delta,h$ и $R$ выражается Решение для произвольного соотношения $\delta,h$ и $R$ выражается
 функциями Бесселя и не очень удобно для простого анализа, поэтому функциями Бесселя и не очень удобно для простого анализа, поэтому
Строка 106: Строка 106:
 и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$. и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$.
 В итоге получим: В итоге получим:
-\begin{equation}\label{eq17} +$$ 
-H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (8) +H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9) 
-\end{equation}+$$
 где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри
 цилиндра. цилиндра.
Строка 129: Строка 129:
 $$ $$
 В итоге получим  В итоге получим 
-\begin{equation}\label{eq18} +$$ 
-E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (9) +E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10) 
-\end{equation} +$$ 
-Подставляя (8) в (9),+Подставляя (9) в (10),
 найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра:  найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра: 
 $$ $$
Строка 138: Строка 138:
 $$ $$
 Преобразуем в экспоненциальную форму: Преобразуем в экспоненциальную форму:
-\begin{equation}\label{eq20} +$$ 
-H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (10) +H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11) 
-\end{equation}+$$
 Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная
 величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**. величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**.
  
-Из (10) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит+Из (11) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит
 не только от отношения $\frac{\delta}{h},$ но и от величины $\frac{\delta}{R}.$ не только от отношения $\frac{\delta}{h},$ но и от величины $\frac{\delta}{R}.$
 Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется при $\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}\gg1.$ Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется при $\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}\gg1.$
Строка 155: Строка 155:
 проводником. Для работы этого условия достаточно, чтобы $\delta$ лишь в два раза было меньше проводником. Для работы этого условия достаточно, чтобы $\delta$ лишь в два раза было меньше
 $\sqrt{hR}$.  $\sqrt{hR}$. 
-Выражение (10) справедливо вплоть до значений+Выражение (11) справедливо вплоть до значений
 $\delta\sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым, $\delta\sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым,
-и следует воспользоваться выражением (7).+и следует воспользоваться выражением (8).