Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
lab6:теория61 [2022/08/30 06:47] – [Слабый скин-эффект] rootlab6:теория61 [2026/09/04 06:06] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 2: Строка 2:
  
 Из уравнений Максвелла  Из уравнений Максвелла 
-\begin{equation} \label{m01}+$$
 \mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
-\end{equation} +$$ 
-\begin{equation} \label{m1}+$$
 \mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
-\end{equation}+$$
 следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого
 магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. **ток проводимости** значительно больше **тока смещения**  магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. **ток проводимости** значительно больше **тока смещения** 
-\begin{equation}\label{ogr}+$$
 \frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3)
-\end{equation}+$$
 так что уравнение упрощается, приобретая вид так что уравнение упрощается, приобретая вид
 \[ \[
Строка 38: Строка 38:
 $$ $$
 Окончательно получаем Окончательно получаем
-\begin{equation}\label{fuko}+$$
 \Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (5)
-\end{equation}+$$
 Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем
 $ $
Строка 50: Строка 50:
 $$ $$
 Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя  Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя 
-\begin{equation}\label{eq12}+$$
 \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6)
-\end{equation}+$$
 значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается. значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.
 ===== Сильный скин-эффект ===== ===== Сильный скин-эффект =====
Строка 68: Строка 68:
 $$ $$
 Тогда уравнение (5) примет вид:  Тогда уравнение (5) примет вид: 
-\begin{equation}\label{eq11}+$$
 \frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (7)
-\end{equation}+$$
  
  
 Решением этого уравнения Решением этого уравнения
 будет выражение  будет выражение 
-\begin{equation}\label{eq13}+$$
 H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8) H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8)
-\end{equation}+$$
 которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает, которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает,
 а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения
Строка 106: Строка 106:
 и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$. и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$.
 В итоге получим: В итоге получим:
-\begin{equation}\label{eq17}+$$
 H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9) H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9)
-\end{equation}+$$
 где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри
 цилиндра. цилиндра.
Строка 129: Строка 129:
 $$ $$
 В итоге получим  В итоге получим 
-\begin{equation}\label{eq18}+$$
 E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10) E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
-\end{equation}+$$
 Подставляя (9) в (10), Подставляя (9) в (10),
 найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра:  найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра: 
Строка 138: Строка 138:
 $$ $$
 Преобразуем в экспоненциальную форму: Преобразуем в экспоненциальную форму:
-\begin{equation}\label{eq20}+$$
 H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11) H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11)
-\end{equation}+$$
 Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная
 величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**. величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**.