Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия
Следующая версия		Предыдущая версия
lab6:эксперимент62 [2019/04/21 07:17] – [Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу [5]] root_slab6:эксперимент62 [2026/09/04 06:06] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 1: Строка 1:
 ===== Экспериментальная установка ===== ===== Экспериментальная установка =====
  
-__Оборудование:__ Генератор низкой частоты (например, GFG --- 8255A), дифференциальный трансформатор, двухканальный осциллограф (например, Tektronix TDS 1012), исследуемые образцы.  +Принципиальная схема экспериментальной установки представлена на рисунке:
-  +
-Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами.  +
  
-Известно, что при низких температурах длина свободного пробега электронов в чистых металлах достигает нескольких миллиметров. Поэтому правильное значение электропроводности можно получить лишь на образцах достаточно большого диаметра. Такие измерения целесообразно проводить бесконтактными методами. В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению. +{{ :lab6:6.2-1.jpg?400 |Экспериментальная установка}}
  
-Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды.  +Установка состоит из генератора АКИП-3408/2, осциллографа GDS--71054B и **дифференциального трансформатора**.
  
-В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле [18] (метод дифференциального трансформатора). Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. 4). {{ :lab6:004.png?direct&400 |}} Образец 1 помещают внутрь одной из катушек датчика. Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. При помещении образца 1 внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: +Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами. 
 +В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению. 
 +Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды. 
 + 
 +В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле. Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности. 
 + 
 +==== Дифференциальный трансформатор ==== 
 + 
 + 
 +Исследуемый образец помещают внутрь одной из катушек дифференциального трансформатора (ДТ). Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю.  
 + 
 +{{ :lab6:6.2-2.jpg?400 |Дифференциальный трансформатор}} 
 + 
 + 
 +При помещении образца внутрь рабочей катушки в нём возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: 
 $$ $$
 U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}= U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}=
-\frac{\partial }{\partial t}(\chi H_0 e^{-i\omega t})= +\frac{\partial }{\partial t}(\chi H e^{-i\omega t})= 
--i\omega \chi H_0 e^{-i\omega t}=+-i\omega \chi H e^{-i\omega t}=
 $$ $$
 $$ $$
--i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}= +-i\omega \chi' e^{i\phi} H e^{-i\omega t}= 
-i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta}.+\omega \chi' H e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\phi )}.
 $$ $$
-Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ --- из  +Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi' e^{i\phi }$. Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\phi$ относительно магнитного поля и тока. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\phi) = \mbox{ctg}\,\phi,$ получим (8):
-соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\beta$ относительно магнитного поля. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\beta) = \mbox{ctg}\beta,$ получим +
 $$ $$
-\mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= +\mbox{tg}\,\varphi = -\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. 
--\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (30) +
 $$ $$
 Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$   Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$  
  
-Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\alpha '_1 (\omega = 0) =\alpha _{01},$ то вместо формулы (13) следует воспользоваться выражением  
-$$ 
-\mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= 
-\frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f}- 
--\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31)  
-$$ 
-Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\varphi = 0.$  
  
-===== Порядок выполнения эксперимента =====+==== Допуск к эксперименту ====
  
-1) Соберите схему (см. рис.4, где 1 --- образец; 2,3 --- катушки взаимной индуктивности; $N$ --- двухканальный осциллограф; G --- генератор низких частот) и проведите измерения $\varphi $ для двух (или трех) цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу.   +  - Воспользовавшись правилами преобразования уравнений из системы СГС в СИ, запишите выражение (10) в системе СИ.  
-{{ :lab6:004.png?direct&400 |}}+  - Ориентируясь на табличные значения проводимости, вычислите  зависимости толщины скин--слоя $\delta$ от частоты $f =\frac{\omega}{2\pi}$ по формуле (3) для используемых материалов в интервале частот от 10 Гц до 10 кГц. Определите частоты для сильного и слабого скин-эффекта для различных материалов.
  
-Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 --- 2) кГц.   +==== Порядок выполнения работы ====
-  +
-Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$ (на этой частоте, в соответствии с формулами (31) и (31а), фазовый сдвиг обращается в нуль). __Примечание.__ Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0,$ а также исследование свойств меди и других проводников на высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы. +
  
-2) Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями.   +Перед началом измерений прочитайте все пункты 
-  +задания и лишь после этого приступайте к выполнению работы.  
-===== Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу [5] =====+  * Узнайте у преподавателя, с какими образцами провести эксперименты. Желательно использовать не менее трёх образцов. Измерьте и запишите их геометрические характеристики в своём отчете. 
 +  * На генераторе установите синусоидальный сигнал максимальной амплитуды.  
 +  * Для удобного определения //амплитуды сигналов// и //разности фаз// между сигналами $U_R$ и $U$ на осциллографе GDS--71054B добавьте соответствующие измерения. Для этого нажмите кнопку **Измерения**, подменю **добавить измерение**, в котором выберите для подключенных каналов, измерение параметра **пик--пик** (показывающий полный размах сигнала). Затем, выбрав каналы, между которыми вы хотите измерить **разность фаз**, добавьте соответствующее измерение. Возможно, измерения ранее уже были активированы и они остались в памяти осциллографа. Если активированы лишние измерения, то их можно удалить, выбрав пункт в подменю **удалить измерение**. 
 +  * Изменяя частоту генератора $f$ в пределах от 100~Гц до 2~кГц для значений частоты, например, $1\cdot n$ Гц; $2\cdot n$~Гц и $4\cdot n$~Гц, где $n=10^2,10^3$, проведите измерения без образца $(U_0 \sim H_0)$ и с разными образцами $(U_i\sim H_i$, где $i$ --- номера образцов$)$. Измеренные величины сигналов $U_{R},$ $U_i$ и разности фаз $\varphi _i$ между ними запишите в //таблицу отчета//
  
-На экране двухканального осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка P одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам  +^ $f$ ^ $U_R$ ^ $U_0$ ^ $\varphi _0$ ^ $U_1$ ^ $\varphi _1$ ^ $U_2$ ^ $\varphi _2$ ^ $U_3$ ^ $\varphi _3$ ^ 
-$$ +| | | | | | | | | | | 
-x = A_1 \sin(\omega t +\varphi _1) \ \ \mbox{ и } \ \ y = A_2 \sin(\omega t +\varphi _2), +| | | | | | | | | | | 
-$$ + 
-где $x$ и $y$ --- декартовы координаты точки $P,$ то  +  * Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$, на частоте, в соответствии с формулами (11), фазовый сдвиг обращается в нуль. Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0$. 
-уравнение траектории результирующего движения точки $P$ в плоскости **XOY** можно найти, исключив из выражений для координат $x$ и $y$ параметр $t:$ +  * Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями. 
-$$  +  * Рассчитайте погрешность измерений. 
-(\frac{x}{A_1})^2 + (\frac{y}{A_2})^2 - 2[\frac{xy}{A_1A_2}]\cos(\varphi_2 -\varphi _1) = \sin^2 (\varphi _2 - \varphi_1). + 
-$$+==== Контрольные вопросы ==== 
 + 
 +  - Привести вычисления, как по переменному магнитному полю $H_z$ (4) получить магнитную поляризуемость (6) и магнитное поле $H_1$ (7)?  
 +  - В каких случаях можно пользоваться формулой (8), а в каких (11)? 
 +  - Объясните, что такое импеданс нагрузки и как он влияет на величину магнитного поля в соленоиде (воспользуйтесь знаниями, полученными в курсе радиоэлектроники). 
  
-Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины $|\varphi _2 - \varphi_1 |.$  +Далее к [[lab6:lab6|описанию работ]]
-Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины $\sin(\varphi _2 - \varphi_1).$ После этого вставьте исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение $\varphi = \varphi _2 - \varphi_1 .$  +
-  +
-===== Содержание отчета  ===== +
-  +
-Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа:  +
-− расчетные формулы;  +
-− схему измерительной установки;  +
-− графики зависимостей tgϕ от частоты;  +
-− значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями.   +
-  +
-3.7. Приложение. Метод последовательных приближений  +
-Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc +
-на проникновения поля δ= велика по сравнению с радиу2πσω +
-сом проводника (δ>> a , случай слабого скин-эффекта), методом последовательных приближений.   +
-В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю Hstat . C учетом граничных условий в нашей задаче Hstat = He . Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения(2) электрического поля E , потом, по формуле (6), соответствующих ему токов j , а затем − создаваемого ими в проводнике поля Hi . Подставив найденное Hi в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т. д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость α, только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами j , с помощью уравнения  +
- M jrdV . (32)  +
-Здесь M1, в отличие от M , является магнитным моментом единицы длины цилиндра.  +
-Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: He = (0,0,H0 ) . Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом:  +
-∆ =Hi 0 ⇒H Hi = e = H0ez ;  +
-  +
-(32)  +
-1 +
-rotE = − ∂B = iωHe ⇒ Eϕ = iωH r0 ;  +
- c ∂t c 2c +
-  +
-(33)  +
-i +
- j =σE ⇒ jϕ = σωH r0 ;  +
-2c +
-  +
-(34)  +
- 1 i +
- M1 = ∫ jrdV = πσω2 a H4 0 .  +
-  +
-(35)  +
- 2c 8c +
-Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра − чисто мнимая величина, равная // iπσωa4 . Так как мы рассматриваем случай слабого скин- +
-iα = 8c2 +
-эффекта, т. е. δ>> a , то полученное значение α// пропорционально величине второго порядка малости (a /δ)2 .  +
-Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами j из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру:  +
- rotH = 4cπj⇒ Hz( )2 = iπσωc2 H0 . (36)  +
-Индекс (2) означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe z компоненты, равны нулю; индекс ( )i , означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее  +
-2 +
- Eϕ = −πσω2c3 H r0 3 ;  (37)  +
- jϕ = −πσω2c23 2 3 +
- H r0 ; (38)  +
- M1 =πσω122 c24 2 a H6 0 . (39)  +
-Другими словами, во втором приближении магнитная поляри- +
- 2 2 2 +
-зуемость действительная величина α1/ = −πσω12c4 a6 , пропорцио- +
-4 +
-нальная величине четвертого порядка малости ⎛⎜ a ⎞⎟ . Используя  +
-⎝δ⎠ +
-формулы (39) и (35), получим, что   +
- χ α πσ/ / 2 d 2 +
-= = − f ,   (40) χ α// // 3c2 +
-где f =ω/ 2π – частота, а d = 2a – диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при δ>> a , разлагая функции Бесселя в ряд по степеням ka (см. разд. 3.1).  +
- +