Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:3.38 [2021/10/15 05:24] – root
+++ lab6:3.38 [2026/09/04 06:06] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 -----
+Запишем уравнение Пуассона для координаты $r$, отсчитываемой от
+катода (заземленного электрода):
+\[\triangle\varphi(r)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=-\frac jv,\]
+где знак плотности тока выбрали с учётом того, что заряд электрона --- отрицательный.
+Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных
+\[mv^{2}/2=-e\varphi(r)=|e|\varphi(r),\]
+откуда
+\[v(r)=\sqrt{\frac{2|e|}{m}\cdot\varphi(r)}.\]
+Плотность тока:
+\[j=\frac{J}{S}=\frac{J}{2\pi r \ell}.\]
 Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается
 так: $$
 \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi
-J }{2\pi re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
+J }{2\pi r\ell}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
 $$
 \frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)=
@@ Строка 15: / Строка 25: @@
 Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$
-Подставляем в уравнение и получаем $$
+Подставляем в уравнение ($\frac{d}{dr}(r\frac{d\varphi}{dr})=C\alpha^2r^{\alpha-1}$) и получаем $$
-C\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$
+C\alpha^{2}r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$
 Степени $r$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,
 откуда $\alpha\!=\!\frac{2}{3}$.
-Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ в предыдущее уравнение и сокращая
+Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ (тогда $\alpha^2=4/9$) в предыдущее уравнение и сокращая
-на $r^{2/3}$, получаем уравнение для $C$: $$
+на $r^{-1/3}$, получаем уравнение для $C$: $$
-\frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда
+\frac{4}{9}C^{3/2}=A,$$ откуда
-$$C=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3}.$$
+$$C=\left(\frac{9A}{4}\right)^{2/3}.$$
 Таким образом, $$
-\varphi(r)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},$$ откуда $$
+\varphi(r)=\left(\frac{9A}{4}\right)^{2/3}r^{2/3},$$ откуда при $\varphi(r_a)=U$: $$
-U=\frac{4r_aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$
+U^{3/2}=\frac{9A}{4}r_a,~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$