3.38. Найти вольт–амперную характеристику цилиндрического диода с нулевым радиусом катода (радиус анода $r_a$).
Запишем уравнение Пуассона для координаты $r$, отсчитываемой от катода (заземленного электрода): \[\triangle\varphi(r)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=-\frac jv,\] где знак плотности тока выбрали с учётом того, что заряд электрона — отрицательный. Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных \[mv^{2}/2=-e\varphi(r)=|e|\varphi(r),\] откуда \[v(r)=\sqrt{\frac{2|e|}{m}\cdot\varphi(r)}.\] Плотность тока: \[j=\frac{J}{S}=\frac{J}{2\pi r \ell}.\]
Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается так: $$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi J }{2\pi r\ell}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е. $$ \frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)= \frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(r_a)=U.$$
Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$
Подставляем в уравнение ($\frac{d}{dr}(r\frac{d\varphi}{dr})=C\alpha^2r^{\alpha-1}$) и получаем $$ C\alpha^{2}r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$
Степени $r$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$, откуда $\alpha\!=\!\frac{2}{3}$.
Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ (тогда $\alpha^2=4/9$) в предыдущее уравнение и сокращая на $r^{-1/3}$, получаем уравнение для $C$: $$ \frac{4}{9}C^{3/2}=A,$$ откуда $$C=\left(\frac{9A}{4}\right)^{2/3}.$$
Таким образом, $$ \varphi(r)=\left(\frac{9A}{4}\right)^{2/3}r^{2/3},$$ откуда при $\varphi(r_a)=U$: $$ U^{3/2}=\frac{9A}{4}r_a,~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$